Desafios Lógicos – Paradoxo de Russell: O Conjunto de Todos os Conjuntos que Não São Membros de Si Próprios É ou Não É Membro de Si Próprio?

Bertrand Russell's views on philosophy

 

 

1- Comecemos por distinguir:

 

 

a) Conjuntos membros de si próprios.
Exs: “O conjunto de todos os conjuntos”; “O conjunto de todas as coisas excepto Joana D’Arc”.

 

b) Conjuntos não membros de si próprios.
Exs: “O conjunto de todas as Valquírias”; “O conjunto que contém apenas Joana D’Arc”.

 

2- Tomemos agora o Conjunto R: Conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si próprios.
Questão: O Conjunto R é membro de si próprio ou não é membro de si próprio?
a) É membro de si próprio.
Ora, se é membro de si próprio deixa de ser o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si próprios porque seria membro de si próprio. Logo, não é membro de si próprio.

 

b) Não é membro de si próprio.
Ora, se é um conjunto que não se contém a si próprio, o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios é membro de si próprio.

 

Conclusão:
O conjunto R é membro de si próprio e não é membro de si próprio.

 

Este conjunto viola, pois, o princípio lógico de não-contradição.
O problema do paradoxo de Russell-Zermelo da Teoria dos Conjuntos consiste na descoberta de um paradoxo de que sofre esta teoria, tal como construída por Cantor e que, por sua vez, fora apresentada como o fundamento de toda a matemática por Frege. Ora, Frege tentara, com efeito, reduzir as matemáticas à Lógica, caracterizando esta segundo o princípio da extensionalidade, como uma relação entre conjuntos. Mas, como as matemáticas não podem ser fundamentadas numa teoria básica contraditória, ou estas são irredutíveis à Lógica ou terá que se as considerar autocontraditórias, o que é um absurdo.
A solução de Russell consistiu, com a sua Teoria dos Tipos, em distinguir conjuntos de ordem sucessivamente superior, tal que os de ordem inferior são elementos daqueles.
Assim, o conjunto de todos os conjuntos nunca poderá ser um conjunto incluído num conjunto de conjuntos do mesmo nível e simultâneamente de nível inferior, deixando de ser possível a pergunta acerca de se um conjunto de todos os conjuntos é o não membro de si próprio.
Comentário
  1. Sérgio Niemeyer hiperligação permanente
    Parece-me que os lógicos e matemáticos do fim do séc. XIX até os dias atuais, imersos na sua genialidade, não conseguiram enxergar o óbvio. O famigerado Paradoxo de Russell possui a estrutura do conhecido método de prova por absurdo. Isso significa que a contradição encontrada ao final implica uma certeza: a de que a premissa posta na origem é falsa. Ou seja, a premissa de existência de um conjunto ou classe cuja propriedade seja não ser membro de si mesmo. Tal falsidade é evidente. Contraria um dos postulados da Teoria dos Conjuntos. Conjuntos não são membros de outros conjuntos. São subconjuntos. A relação entre conjuntos não é de pertinência, mas de continência. Além disso, todo conjunto é subconjunto de si próprio (isso é postulado da T.C.), assim como o conjunto vazio éstá contido (= é subconjunto de) em todos os conjuntos. Se se admitisse haver relação de pertinência entre os conjuntos, o conjunto vazio seria a interseção universal de todos os conjuntos existentes, já que seria membro de todos os conjuntos. Essa subversão relacional é que causa perplexidade e permite a formulação do Paradoxo de Russell. Na verdade, não existem paradoxos. Ou as contradições constituem prova por absurdo de que a premissa considerada é falsa, ou decorrem de defeitos de ambiguidade das línguas naturais, como, v.g., o paradoxo do Cretense ou do barbeiro, que possuem a mesma estrutura. Mas isso é matéria para outra discussão.
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